平面と平面方程式

かんたんに理解できる平面と平面方程式。頂点と法線を平面方程式に、ポリゴンを平面方程式にするプログラミングサンプル。

平面方程式と計算方法

平面方程式

平面を表す式として、プログラミングではこの形の平面方程式を使います。

ax + by + cz + d = 0

この式は平面の法線ベクトルが(a,b,c)であることと、
原点から法線の方向へd進んだ距離に平面があることを表します。

法線ベクトル(a,b,c)は、平面と直交した単位ベクトルです。

ひとつの頂点と法線から　平面方程式を計算する方法

平面上の点Pと法線ベクトル(a,b,c)から平面方程式を計算するには、残るｄの値を求めればよいのですが、ベクトルPと法線を内積することで計算できます。

d = 法線とベクトルPを内積 = P.x * a + P.y * b + P.z * c

３つの頂点（ポリゴン）から　平面方程式を計算する方法

はじめに３つの頂点から法線ベクトルを作ります。
ベクトルABとBCを外積して単位ベクトルにしたものが法線です。
(ポリゴンの法線を求める方法)

法線ベクトル(a,b,c)が分かれば、ポリゴンの頂点どれかひとつを使って残るdが計算できます。

法線ベクトル(a,b,c) = (ベクトルAB　×　ベクトルBC )の単位ベクトル
d = 法線とベクトルOAを内積 = A.x * a + A.y * b + A.z * c;

平面方程式を計算する　プログラミング例

#include <math.h>

//平面の定義
class Plane {	//ax+by+cz+d=0
public:
	double a,b,c,d;
	
	Plane(){}
	Plane(double a,double b,double c,double d){ this->a = a; this->b = b; this->c = c; this->d = d; }
};

//ベクトルの定義
class Vector3D{
public:
	double x,y,z;
	
	Vector3D(){}
	Vector3D( double x, double y, double z) {this->x = x; this->y = y; this->z = z; }

	//ベクトル引き算( this - v )
	Vector3D operator - ( const Vector3D& v ) const { return Vector3D( x - v.x, y - v.y, z - v.z ); }
	//ベクトル外積( this × vr )
	Vector3D operator * ( const Vector3D& vr ) const { return Vector3D( (y * vr.z) - (z * vr.y), (z * vr.x) - (x * vr.z), (x * vr.y) - (y * vr.x) ); }
	//自身を単位ベクトルにする
	void Normalize() {
		double length = pow( ( x * x ) + ( y * y ) + ( z * z ), 0.5 );//ベクトルの長さ
		x /= length;
		y /= length;
		z /= length;
	}
};
//頂点の定義(ベクトルと同じ)
#define Vertex3D Vector3D

//頂点abcで作られたポリゴンから法線を計算する。
Vector3D CreatePolygonNormal( Vertex3D a, Vertex3D b, Vertex3D c ) {

	Vector3D ab = b - a;
	Vector3D bc = c - b;

	Vector3D normal = ab * bc;	//ab bcの外積
	normal.Normalize();//単位ベクトルにする

	return normal;
}

//ひとつの頂点と法線ベクトルから平面を作成する
Plane CreatePlaneFromPointNormal( Vertex3D p, Vector3D normal )//※normalは単位ベクトルであること
{
	//pとnormalを内積
	double d = p.x * normal.x + p.y * normal.y + p.z * normal.z;

	return Plane( normal.x, normal.y, normal.z, d );
}

//ポリゴンから平面を作成する
Plane CreatePlaneFromPolygon( Vertex3D a, Vertex3D b, Vertex3D c )//※abcは同一でないこと
{	
	//ポリゴンの法線を計算する
	Vector3D normal = CreatePolygonNormal(a,b,c);
	
	//ポリゴンのどれかひとつの頂点と法線ベクトルから平面を作成する
	return CreatePlaneFromPointNormal( a, normal );
}

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